III.
FUNDAMENTACIÓN
TEÓRICO-CIENTÍFICO
3.1
Fundamentación pedagógica, curriculares, didácticos, psicológicos
FUNDAMENTOS DIDÁCTICOS:
1.
ENSEÑAR
GEOMETRÍA
¿PARA QUÉ?
El
tipo de enseñanza que emplea el docente depende de las concepciones que él
tiene sobre lo que es Geometría, cómo se
aprende, qué significa saber de esta rama de las Matemáticas y para qué se
enseña.
Es
importante reflexionar sobre las razones para enseñar Geometría, la primera la
encontramos en nuestro entorno inmediato, basta con mirarlo y descubrir que en
él se encuentran muchas relaciones y conceptos geométricos: la Geometría modela
el espacio que percibimos.
La
Geometría:
·
Se aplica en la realidad (en
la vida cotidiana, la arquitectura, la pintura, la escultura, la astronomía,
los deportes, etcétera).
·
Sirve en el estudio de otros
temas de la Matemáticas (por ejemplo, un modelo geométrico de la multiplicación
d números o expresiones algebraicas lo constituye el calcula del área de
rectángulos).
Terminaremos
con una lista de respuestas a la pregunta ¿para qué enseñar y aprender
matemática?
·
Para conocer una rama de las
matemáticas más instructiva.
·
Para cultivar la
inteligencia.
·
Para desarrollar estrategias
de pensamiento.
·
Para descubrir las propias
posibilidades creativas.
·
Para aprender una materia
interesante y útil.
·
Para trabajar matemática
experimentalmente.
·
Para gozar de sus
aplicaciones prácticas.
·
Para disfrutar aprendiendo y
enseñando.
2.
HABILIDADES
VISUALES:
La
Geometría es una disciplina eminentemente visual.
En
un principio los conceptos geométricos son reconocidos y comprendidos a través
de la visualización, que es un proceso cognitivo basada en el uso de
elementos visuales o espaciales, tanto
mentales como físicos, utilizados para resolver problemas o probar propiedades.
Pero,
si bien la habilidad de visualización es un primer acercamiento a los objetos
geométricos, no podemos aprender la Geometría sólo viendo una figura u otro
objeto geométrico.
La
habilidad de la visualización está muy relacionada con la imaginación espacial:
la visualización pude estar en la mente. Es muy necesario que el alumno se
enfrente a diversas situaciones donde
los conocimientos adquieran sentido.
FUNDAMENTOS PSICOLÓGICOS:
1.
OPERACIONES
CONCRETAS
Durante
los primeros años el niño está lejos de llegar a la comprensión de los
conceptos propiamente dichos, la primera manifestación es la presencia de una
inteligencia preconceptual.
Los
preconceptos son las nociones que el niño liga
los primeros signos verbales cuyo uso adquiere; que consiste entre la
generalidad dl concepto y la
individualidad del elemento.
Las
operaciones concretas se refieren a las operaciones con objetos manipulables,
en donde aparece la noción de agrupación
que permite que los esquemas de acción ya en marcha se vuelvan
reversibles. Si bien la lógica del niño sigue muy ligada a objetos del mundo
sensible, el tipo de operaciones que realiza con los objetos ya implica la
aplicación d estructuras a nivel representativo.
Existen
dos subperiodos: el preoperatorio y el operatorio propiamente dicho.
FUNDAMENTOS PEDAGÓGICOS
1.
MATEMÁTICAS Y SOCIEDAD
Cuando
tenemos en cuenta el tipo de matemáticas que queremos enseñar y la forma de llevar
a cabo esta enseñanza debemos reflexionar sobre dos fines importantes de esta enseñanza:
Que
los alumnos lleguen a comprender y a apreciar el papel de las matemáticas en la
sociedad, incluyendo sus diferentes campos de aplicación y el modo en que las
Matemáticas han contribuido a su desarrollo.
Que
los alumnos lleguen a comprender y a valorar el método matemático, esto es, la
clase de preguntas que un uso inteligente de las matemáticas permite responder,
las formas básicas de razonamiento y del trabajo matemático, así como su
potencia y limitaciones.
¿Cómo
surgen las matemáticas?
La
perspectiva histórica muestra claramente que las matemáticas son un conjunto de
conocimientos en evolución continua y que en dicha evolución desempeña a menudo
un papel de primer orden la necesidad de resolver determinados problemas
prácticos (o internos a las propias
matemáticas) y su interrelación con otros conocimientos.
Ejemplo:
Los
orígenes de la estadística son muy antiguos, ya que se han encontrado pruebas
de recogida de datos sobre población, bienes y producción en las civilizaciones
china (aproximadamente 1000 años a. C.), sumeria y egipcia. Incluso en la
Biblia, en el libro de Números aparecen referencias al recuento de los
israelitas en edad de servicio militar. No olvidemos que precisamente fue un
censo, según el Evangelio, lo que motivó el viaje de José y María a Belén. Los
censos propiamente dichos eran ya una institución en el siglo IV a.C. en el
imperio romano. Sin embargo, sólo muy recientemente la estadística ha adquirido
la categoría de ciencia. En el siglo XVII surge la aritmética política, desde
la escuela alemana de Conring. Posteriormente su discípulo Achenwall orienta su
trabajo a la recogida y análisis de datos numéricos, con fines específicos y en
base a los cuales se hacen estimaciones y conjeturas, es decir se observan ya
los elementos básicos del método estadístico.
La
estadística no es una excepción y, al igual que ella, otras ramas de las
matemáticas se han desarrollado como respuesta a problemas de índole diversa:
Muchos
aspectos de la geometría responden en sus orígenes históricos, a la necesidad
de resolver problemas de agricultura y de arquitectura.
Los
diferentes sistemas de numeración evolucionan paralelamente a la necesidad de
buscar notaciones que permitan agilizar los cálculos aritméticos.
La
teoría de la probabilidad se desarrolla para resolver algunos de los problemas
que plantean los juegos de azar.
Las
matemáticas constituyen el armazón sobre el que se construyen los modelos
científicos, toman parte en el proceso de modelización de la realidad, y en
muchas ocasiones han servido como medio de validación de estos modelos. Por
ejemplo, han sido cálculos matemáticos los que permitieron, mucho antes de que
pudiesen ser observados, el descubrimiento de la existencia de los últimos
planetas de nuestro sistema solar.
Sin
embargo, la evolución de las matemáticas no sólo se ha producido por acumulación
de conocimientos o de campos de aplicación. Los propios conceptos matemáticos
han ido modificando su significado con el transcurso del tiempo, ampliándolo,
precisándolo o revisándolo, adquiriendo relevancia o, por el contrario, siendo
relegados a segundo plano.
2.
Papel
de las matemáticas en la ciencia y tecnología
Las aplicaciones matemáticas tienen una
fuerte presencia en nuestro entorno. Si queremos
que el alumno valore su papel, es importante que los ejemplos y situaciones que
mostramos en la clase hagan ver, de la forma más completa posible, el amplio
campo de fenómenos que las matemáticas
permiten organizar.
3.2
Resumen Teórico científico del tema
POSICIÓN
Concepto de Posición
Hoy día podemos decir
que la posición de un objeto es aquella información que permite localizarlo en
el espacio en un instante de tiempo determinado. Necesitamos obtener doble
información, una que tiene que ver con medidas espaciales y otra con una medida
del tiempo; ambas son necesarias pues los cuerpos materiales constantemente
cambian de posición según transcurre el tiempo.
Por ejemplo, en una hora
específica del día estaremos almorzando, y en otra, estaremos en la escuela:
Espacio y Tiempo van de la mano.
¿Cómo se determina la posición?
En general, para
estudiar el movimiento de un cuerpo y determinar su posición en el espacio en
cada instante de tiempo, es necesario recurrir a lo que se denomina en Física,
un sistema de referencia. Para comprender lo que ello significa estudiaremos un
caso sencillo. En la figura siguiente hay una pelota, varios objetos y algunas
personas.
Se pretende estudiar
el movimiento de la pelota y conocer su posición al cabo de un tiempo después
que se le ha puesto en movimiento. Indicaremos a continuación los elementos de
un sistema de referencia y las actividades a las que da origen con el fin de
ubicar la pelota en el espacio y en el tiempo.
a) Cuerpos de referencia:Para
determinar la posición de un cuerpo siempre es necesario referirse a otro
cuerpo o a un conjunto de cuerpos materiales, en el lenguaje común se dice:
Juan estaba en la Biblioteca, las llaves están sobre la mesa del comedor, etc,
no es posible hablar de posición sin hacer referencia a otro cuerpo. En este
caso se elige la fuente como cuerpo de referencia pero en el entendido que
pudiese ser cualquier otro.
b) Cero de Referencia:Una
vez escogido el cuerpo de referencia, se procede a escoger un punto de ese
cuerpo, a partir del cual se van a medir las variables relacionadas con la
posición del cuerpo que deseamos estudiar; este punto se denomina origen o 0 (
cero ) del sistema de referencia. En el caso que estamos estudiando hemos
escogido un punto en la base de la fuente.
c) Un sistema de coordenadas: La
información numérica que permitirá ubicar al cuerpo en el tiempo y en el
espacio está contenida en lo que se llama el sistema de coordenadas. Está
representada por un conjunto de números ordenados de manera conveniente para
facilitar el registro y comunicación de los datos.. Para la descripción del
movimiento de un cuerpo en el espacio se requieren 4 coordenadas, 3 para
indicar la posición en el espacio y otra para indicar el instante de tiempo
correspondiente a la posición. En este caso el movimiento de la pelota será a
lo largo de un línea recta, se requieren por lo tanto 2 coordenadas, una
espacial y otra temporal. El valor numérico de la coordenada espacial nos
informa de la posición de la pelota con respecto al cero de referencia, y el
valor numérico de la coordenada temporal nos dice en que instante de tiempo
adquiere esa posición.
d) Patrones de medida para las
distancias y el tiempo.
Diferentes patrones de medida determinan
números diferentes en la medida de las distancias y el tiempo. El número que
representa a una distancia medida en pulgadas, es un número diferente al que
obtenemos si medimos la misma distancia en metros o centímetros; de igual
manera ocurre con el tiempo: 1 hora equivale a 3600 segundos, ambas son
unidades diferentes de tiempo,. Es necesario, por consiguiente, escoger la
regla y el reloj con la que vamos a medir. Se ha adoptado internacionalmente
como patrón de medida para la longitud al metro
y para el tiempo el segundo. Esos serían nuestros patrones en el ejemplo de la
pelota, aunque no especifiquemos algún valor numérico para ellos.
En la animación
siguiente se ilustra el proceso completo para ubicar la pelota.
En resumen, un
sistema de referencia es un conjunto de elementos relacionados para cumplir un
propósito específico: Determinar la ubicación espacio-temporal de un cuerpo.
Relativismo o Relatividad
Un aspecto importante
que se deriva de este análisis sobre un sistema de referencia, es que la
posición depende: de los objetos de referencia que se escojan, del cero de
referencia, del sistema de coordenadas y de los patrones de medida; para cada
conjunto escogido se tendrán valores numéricos de las coordenadas
espacio-temporales particulares, no necesariamente coincidentes. Esta propiedad
se llama en Física relativismo o relatividad del movimiento, y lo que se quiere
indicar con ello es que el movimiento y las variables que lo caracterizan, dependen
del sistema de referencia escogido para estudiarlo.
DESPLAZAMIENTO
Moverse es
desplazarse y desplazarse es cambiar de posición. Una manera de darse cuenta
del movimiento de un cuerpo es a través del cambio de posición. Si un cuerpo
material cambia su posición con respecto a otro escogido como referencia, se
puede afirmar que ese cuerpo se ha desplazado.
Hoy día se sabe que
el polo Norte celeste, parte de la bóveda celeste que está encima del polo
norte se mueve en un pequeño círculo y vuelve a su posición original cada
26.000 años, de igual manera observando las estrellas, justo antes del amanecer
y justo antes de la puesta del Sol se puede ver que éste cambia lentamente su
posición respecto a las estrellas cada día, volviendo a su punto de partida después
de 365 días y cuarto.
Concepto de desplazamiento.
Una manera de darse
cuenta del movimiento de un cuerpo es a través del cambio de su posición con
respecto a otro cuerpo tomado como referencia. Si se observa algún cambio se
dice que el cuerpo se ha desplazado. Sin embargo esta información no basta para
determinar el desplazamiento con exactitud, como veremos en la siguiente
animación:
No
es suficiente decir que la pelota se ha desplazado 10 metros, pues hay
infinitas posibilidades hacia donde puede dirigirse; por ello para reportar con
precisión la información del desplazamiento de un objeto, es necesario
especificar la dirección. Esta característica, ubica al desplazamiento dentro
de un tipo de magnitudes físicas llamadas vectores.
¿Qué son magnitudes
vectoriales?
Una
magnitud física donde el tamaño no es suficiente para definirla, sino que
además es necesario indicar una dirección para que quede completamente
determinada, se dice que es una magnitud vectorial. Tal es el caso del
desplazamiento y de muchas otras variables físicas como la posición, el
desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc., necesarias para
estudiar el mundo físico.
Los
vectores se suman de una manera diferente a como se suman los números reales.
La siguiente página contiene una forma muy demostrativa para sumar vectores. Lo
que allí se muestra es válido para cualquier magnitud
vectorial.
Significado del desplazamiento.
Para comprender el concepto de desplazamiento y cómo se
mide, observa la animación siguiente. Un vehículo se mueve entre los puntos A y
B a lo largo de una carretera; al hacerlo podemos distinguir dos aspectos
diferentes del movimiento: uno es la distancia en línea recta entre los puntos
A y B, y otra, la longitud de la trayectoria recorrida desde A hasta B(
longitud de la carretera).
Ambas longitudes están relacionadas pero tienen
significados diferentes. La longitud del segmento recto representa la magnitud
del desplazamiento y la longitud de la carretera representa la distancia total recorrida
por el carro. Tanto el desplazamiento como la distancia total recorrida
dependerán del intervalo de tiempo que se considere para medirlo. Si en el caso
ilustrado, esperamos que el carro vuelva al punto de partida, el desplazamiento
en ese intervalo será cero, pues esa es la distancia entre el punto inicial y
final del movimiento, sin embargo, la distancia total recorrida será diferente
de cero y ello se reflejará en el consumo de combustible en el viaje.
Otro ejemplo útil para aclarar la diferencia entre
distancia recorrida y desplazamiento, es el movimiento circular, como el del
ave de la animación: En ella se ilustran tanto el desplazamiento (con línea
punteada) como la distancia total recorrida(línea curva verde). El ave, cada
vez que da una vuelta completa, recorre una distancia igual a la longitud de la
circunferencia, mientras que el desplazamiento en ese intervalo de tiempo es
cero.
Puedes aplicar este
conocimiento a la vida diaria. Desde que te levantas hasta que te acuestas,
realizas una gran cantidad de actividades: vas a la escuela, quizás luego haces
algún deporte o puedes ir de excursión, etc; al final del día, regresas a
dormir y vuelves al punto de partida. Tu desplazamiento en ese intervalo de
tiempo es cero, sin embargo la distancia recorrida ¡es muy diferente de cero!
